Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{2 \sqrt{y}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\sqrt{y}$ dari $2 \sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y} \cdot 2}{x}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = \frac{2}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2.2.1.2

Pindahkan $y^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2.2.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2.2.1.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $y$ adalah $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \ln (| x |) + C$ dengan $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $y^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Langkah 3.1.3.1.2

Bagilah $\ln (| x |)$ dengan $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Langkah 3.2

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $2$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan.

$y = {(\ln (| x |) + \frac{C}{2})}^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$