Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = 0$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C_{1}}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} \cdot 0$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} \cdot 0$

Langkah 3.3

Kalikan $e^{- x}$ dengan $0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 0$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 0$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 0$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 0 d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} v = \int 0 d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{- x} v = 0 + C_{2}$

Langkah 7.2

Tambahkan $0$ dan $C_{2}$ .

$e^{- x} v = C_{2}$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{- x} v = C_{2}$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} v = C_{2}$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{- x}}$

Langkah 10

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Langkah 11

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Langkah 11.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{- x}} d x$

Langkah 11.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $C_{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{- x}} d x$

Langkah 11.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Langkah 11.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- x \cdot - 1} d x$

Langkah 11.3.2.2.1.2

Kalikan $- x \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{1 x} d x$

Langkah 11.3.2.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{x} d x$

Langkah 11.3.2.2.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{x} d x$

Langkah 11.3.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (e^{x} + C_{4})$

Langkah 11.3.4

Sederhanakan.

$y + C_{3} = C_{2} e^{x} + C_{5}$

Langkah 11.3.5

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{3} = e^{x} C_{2} + C_{5}$

Langkah 11.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = e^{x} C + D$