Kalkulus Contoh

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(1 + e^{2 x}) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{e^{x}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Langkah 3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Langkah 3.4

Terapkan sifat distributif.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Langkah 3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Langkah 3.7

Hapus faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ dan $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{2 x}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Langkah 3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Langkah 3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Langkah 3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Langkah 3.7.2.4

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Langkah 4.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ sebagai $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.3.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.3.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.3.2.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 4.3.4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.6.2

Kalikan $\int e^{u} d u$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Langkah 4.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Langkah 4.3.9

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Langkah 4.3.10

Sederhanakan.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Langkah 4.3.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y^{3}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.3.2

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Langkah 5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Langkah 5.4

Faktorkan $3$ dari $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 e^{- x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $3$ dari $3 e^{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $3$ dari $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $3$ dari $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $3$ dari $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$