Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{x + 3}$ , $y (- 1) = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} \cdot \frac{y - 1}{x + 3}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y - 1} d y = \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = x + 3$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = x + 3$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 3 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = \ln (| x + 3 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y - 1 |) - \ln (| x + 3 |) = C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 1 |}{| x + 3 |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x + 3 |$ .

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x + 3 |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y - 1 |}{| x + 3 |} | x + 3 | = e^{C} | x + 3 |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y - 1 | = e^{C} | x + 3 |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | x + 3 |$ .

$| y - 1 | = | x + 3 | e^{C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm | x + 3 | e^{C}$

Langkah 3.5.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | x + 3 | e^{C}$ .

$y - 1 = \pm e^{C} | x + 3 |$

Langkah 3.5.4.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \pm e^{C} | x + 3 | + 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm C | x + 3 | + 1$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | x + 3 | + 1$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $- 1$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = C | x + 3 | + 1$ .

$0 = C | - 1 + 3 | + 1$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C | - 1 + 3 | + 1 = 0$ .

$C | - 1 + 3 | + 1 = 0$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$C | 2 | + 1 = 0$

Langkah 6.2.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$C \cdot 2 + 1 = 0$

Langkah 6.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$2 C + 1 = 0$

Langkah 6.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 C = - 1$

Langkah 6.4

Bagi setiap suku pada $2 C = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Bagilah setiap suku di $2 C = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.4.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{- 1}{2}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$C = - \frac{1}{2}$

Langkah 7

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $C$ dalam $y = C | x + 3 | + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ untuk $C$ .

$y = - \frac{1}{2} | x + 3 | + 1$

Langkah 7.2

Gabungkan $| x + 3 |$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + 1$

Langkah 7.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = - \frac{| x + 3 |}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- | x + 3 | + 2}{2}$