Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + x y = y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} = y - x y$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $y - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} - x y$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 - x y$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $y$ dari $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (- x)$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 - x)$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - x))$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 - x))$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 - x$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (1 - x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - x d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - x d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x + C}$ sebagai $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} + x}$