Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 9 x y = 8 x$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 9 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 9 x d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $9 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$e^{9 \int x d x}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{9 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $9 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2

Gabungkan $9$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{9}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\frac{9}{2} x^{2}}$

Langkah 1.4

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (9 x y) = e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (8 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (8 x)$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (x y) = 8 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 9 x y e^{\frac{9 x^{2}}{2}} = 8 x e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y] = 8 x e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y] d x = \int 8 x e^{\frac{9 x^{2}}{2}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = \int 8 x e^{\frac{9 x^{2}}{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = 8 \int x e^{\frac{9 x^{2}}{2}} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u_{2} = e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 9 x e^{\frac{9 x^{2}}{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{9} d u_{2} = x e^{\frac{9 x^{2}}{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{9 x^{2}}{2}}]$

Langkah 6.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{9 x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{9 x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{2}}{2}]$

Langkah 6.2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{2}}{2}]$

Langkah 6.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{9 x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{2}}{2}]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Karena $\frac{9}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9 x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 6.2.1.3.2

Gabungkan $\frac{9}{2}$ dan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Langkah 6.2.1.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}})}{2} x$

Langkah 6.2.1.3.4.2

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$\frac{18 e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}{2} x$

Langkah 6.2.1.3.4.3

Gabungkan $\frac{18 e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{18 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x}{2}$

Langkah 6.2.1.3.4.4

Hapus faktor persekutuan dari $18$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $18 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x)}{2}$

Langkah 6.2.1.3.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.4.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Langkah 6.2.1.3.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.1.3.4.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x}{1}$

Langkah 6.2.1.3.4.4.2.4

Bagilah $9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x$ dengan $1$ .

$9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x$

Langkah 6.2.1.3.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $9 e^{\frac{9 x^{2}}{2}} x$ .

$9 x e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = 8 \int \frac{1}{9} d u_{2}$

Langkah 6.3

Terapkan aturan konstanta.

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{9} u_{2} + C)$

Langkah 6.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tulis kembali $8 (\frac{1}{9} u_{2} + C)$ sebagai $8 (\frac{1}{9}) u_{2} + C$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = 8 (\frac{1}{9}) u_{2} + C$

Langkah 6.4.2

Gabungkan $8$ dan $\frac{1}{9}$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{9} u_{2} + C$

Langkah 6.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{9} e^{\frac{9 x^{2}}{2}} + C$

Langkah 6.4.4

Susun kembali suku-suku.

$e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{9} e^{\frac{9}{2} x^{2}} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{9} e^{\frac{9}{2} x^{2}} + C$ dengan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y = \frac{8}{9} e^{\frac{9}{2} x^{2}} + C$ dengan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{9} e^{\frac{9}{2} x^{2}}}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{\frac{9 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}} = \frac{\frac{8}{9} e^{\frac{9}{2} x^{2}}}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{8}{9} e^{\frac{9}{2} x^{2}}}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{\frac{9}{2} x^{2}}$ dan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $e^{\frac{9 x^{2}}{2}}$ dari $\frac{8}{9} e^{\frac{9}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (\frac{8}{9} e^{\frac{\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2 - 9 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (\frac{8}{9} e^{\frac{\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2 - 9 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{\frac{9 x^{2}}{2}} (\frac{8}{9} e^{\frac{\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2 - 9 x^{2}}{2}})}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{8}{9} e^{\frac{\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2 - 9 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{8}{9} e^{\frac{\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2 - 9 x^{2}}{2}}$ dengan $1$ .

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2 - 9 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2 - 9 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{9}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{x^{2} (\frac{9}{2} \cdot 2) - 9 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 9 x^{2}$ .

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{x^{2} (\frac{9}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 9}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (\frac{9}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 9$ .

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{x^{2} (\frac{9}{2} \cdot 2 - 9)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{x^{2} (\frac{9}{2} \cdot 2 - 9)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{x^{2} (9 - 9)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.3

Kurangi $9$ dengan $9$ .

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $0$ .

$y = \frac{8}{9} e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$y = \frac{8}{9} e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$y = \frac{8}{9} \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.6

Kalikan $\frac{8}{9}$ dengan $1$ .

$y = \frac{8}{9} + \frac{C}{e^{\frac{9 x^{2}}{2}}}$