Kalkulus Contoh

$(1 + y) d x + (1 - x^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(1 + y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(1 - x^{2}) d y = - (1 + y) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $1 + y$ dari $(1 - x^{2}) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} d x$

Langkah 3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1^{2} - x^{2}} d x$

Langkah 3.4.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 1 + y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 4.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Langkah 4.3.2

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Langkah 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.3

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.6.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.6.1.2

Bagilah $(A) (1 - x)$ dengan $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.6.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.6.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.6.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.1.6.5.2

Bagilah $(B) (1 + x)$ dengan $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Langkah 4.3.2.1.6.6

Terapkan sifat distributif.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Langkah 4.3.2.1.6.7

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Langkah 4.3.2.1.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.7.1

Pindahkan $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Langkah 4.3.2.1.7.2

Susun kembali $B$ dan $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Langkah 4.3.2.1.7.3

Pindahkan $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Langkah 4.3.2.1.7.4

Pindahkan $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Langkah 4.3.2.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = - 1 A + B$

Langkah 4.3.2.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A + B$

Langkah 4.3.2.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Langkah 4.3.2.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Selesaikan $A$ dalam $1 = A + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Langkah 4.3.2.3.1.2

Kurangkan $B$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Langkah 4.3.2.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1 - B$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = - 1 A + B$ dengan $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.2.2.1

Sederhanakan $- 1 (1 - B) + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Kalikan $- 1 (- B)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Kalikan $B$ dengan $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.2.2.1.2

Tambahkan $B$ dan $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = - 1 + 2 B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.3.3

Bagi setiap suku pada $2 B = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 B = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Bagilah $B$ dengan $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Langkah 4.3.2.3.4

Substitusikan semua kemunculan $B$ dengan $\frac{1}{2}$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.4.1

Substitusikan semua kemunculan $B$ dalam $A = 1 - B$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.2.3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.4.2.1

Sederhanakan $1 - (\frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.4.2.1.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.2.3.4.2.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.2.3.4.2.1.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.2.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.2.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.5.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Langkah 4.3.2.5.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Langkah 4.3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 4.3.5

Biarkan $u_{2} = 1 + x$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Biarkan $u_{2} = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 4.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.5.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.5.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 4.3.5.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 4.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 4.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Langkah 4.3.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Langkah 4.3.8

Biarkan $u_{3} = 1 - x$ . Kemudian $d u_{3} = - d x$ sehingga $- d u_{3} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.8.1

Biarkan $u_{3} = 1 - x$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.8.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 4.3.8.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Langkah 4.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Langkah 4.3.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{3}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Langkah 4.3.11

Integral dari $\frac{1}{u_{3}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Langkah 4.3.12

Sederhanakan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Langkah 4.3.13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.13.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Langkah 4.3.13.2

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Langkah 4.3.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.14.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Langkah 4.3.14.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Langkah 4.3.15

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $\ln (| 1 + y |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $\ln (| 1 + y |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| 1 + y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| 1 + y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2} \frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.4

Gabungkan ${(1 + y)}^{2}$ dan $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Langkah 5.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Langkah 5.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.4

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2} | 1 + x |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke ${(1 + y)}^{2} | 1 + x |$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2

Sederhanakan.

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.6.1.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 5.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Langkah 5.9.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1

Sederhanakan $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y) = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1.3.1

Kalikan ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.3.3

Susun kembali $1$ dan $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.3.4

Susun kembali $1$ dan $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.3.1.3.5

Susun kembali ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dan $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.4.1

Kurangkan ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5.9.4.2

Bagi setiap suku pada $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.4.2.1

Bagilah setiap suku di $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.9.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.9.4.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.9.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.4.2.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$