Kalkulus Contoh

$y - x \frac{d y}{d x} = 8 x^{3}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Susun kembali suku-suku.

$- x \frac{d y}{d x} + y = 8 x^{3}$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $- x \frac{d y}{d x} + y = 8 x^{3}$ dengan $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

Langkah 1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

Langkah 1.4.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{8 x^{3}}{- x}$

Langkah 1.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $x$ dari $8 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x (8 x^{2})}{- x}$

Langkah 1.5.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{8 x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot (8 x^{2})$

Langkah 1.6

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 8 \cdot x^{2}$

Langkah 1.7

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 8 \cdot x^{2}$

Langkah 1.8

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 8 \cdot x^{2}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{1}{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

Langkah 2.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 8 \cdot x^{2})$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 8 \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 8}{x} x^{2}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 8}{x} (x \cdot x)$

Langkah 3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 8}{x} (x \cdot x)$

Langkah 3.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 8 x$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 8 x$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 8 x d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int - 8 x d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 8$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = - 8 \int x d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $- 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{- 8}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x} y = \frac{- 4}{1} x^{2} + C$

Langkah 7.3.2.2.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x} y = - 4 x^{2} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} = - 4 x^{2} + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- 4 x^{2} + C) x$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (- 4 x^{2} + C) x$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- 4 x^{2} + C) x$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(- 4 x^{2} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - 4 x^{2} x + C x$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$y = - 4 (x \cdot x^{2}) + C x$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = - 4 (x^{1} x^{2}) + C x$

Langkah 8.3.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = - 4 x^{1 + 2} + C x$

Langkah 8.3.2.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = - 4 x^{3} + C x$