Kalkulus Contoh

$y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ dengan $y (x + 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $y (x + 1) \frac{d y}{d x} = x (y^{2} + 1)$ dengan $y (x + 1)$ .

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x + 1) \frac{d y}{d x}}{y (x + 1)} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Langkah 1.1.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{x}{x + 1}$ dengan $\frac{y^{2} + 1}{y}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{(x + 1) y}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $(x + 1) y$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{y (x + 1)}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{x (y^{2} + 1)}{x + 1}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $y^{2} + 1$ dari $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{(y^{2} + 1) x}{x + 1}$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 y + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah $x$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 2.3.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 2.3.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 2.3.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Langkah 2.3.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (x - \ln (| x + 1 |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x + 2 (- \ln (| x + 1 |)) + 2 C$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 x - 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Langkah 3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |) = 2 x + 2 C$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan $\ln (| y^{2} + 1 |) + 2 \ln (| x + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x + 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 x + 2 C$

Langkah 3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x + 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y^{2} + 1 |) + \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Langkah 3.4.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2})} = e^{2 x + 2 C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}) = 2 x + 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$

Langkah 3.7.2

Bagi setiap suku pada $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ dengan ${(x + 1)}^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Bagilah setiap suku di $| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2} = e^{2 x + 2 C}$ dengan ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y^{2} + 1 | {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7.2.2.1.2

Bagilah $| y^{2} + 1 |$ dengan $1$ .

$| y^{2} + 1 | = \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1$

Langkah 3.7.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + 2 C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x + C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{2 x + C}$ sebagai $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{2 x} e^{C}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{2 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm \frac{e^{C} e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C \frac{C e^{2 x}}{{(x + 1)}^{2}} - 1}$