Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

Langkah 2.3.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t}$ sebagai $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{\frac{1}{2}}$ terhadap $t$ adalah $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $t$ dan $4$ untuk $y$ padda $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ .

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

Langkah 4.2.2

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3} + K = 4$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $\frac{4}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 4 - \frac{4}{3}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$K = \frac{12 - 4}{3}$

Langkah 4.3.5.2

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$K = \frac{8}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{8}{3}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{8}{3}$ untuk $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$