Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (y - 3)$ , $y (0) = 6$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (x^{3} (y - 3))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y - 3$ dari $x^{3} (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y - 3} d y = x^{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int x^{3} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y - 3$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y - 3 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C} + 3$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C} + 3$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $6$ untuk $y$ padda $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ .

$6 = C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$ .

$C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$

Langkah 6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$C e^{\frac{0}{4}} + 3 = 6$

Langkah 6.2.2

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$C e^{0} + 3 = 6$

Langkah 6.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C \cdot 1 + 3 = 6$

Langkah 6.2.4

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C + 3 = 6$

Langkah 6.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 6 - 3$

Langkah 6.3.2

Kurangi $3$ dengan $6$ .

$C = 3$

Langkah 7

Substitusikan $3$ untuk $C$ dalam $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $3$ untuk $C$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$