Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + x y = 3 x$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int x d x}$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Langkah 1.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 x)$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 3 x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 \int x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = x e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{x e^{\frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{\frac{x^{2}}{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}}]$

Langkah 6.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 6.2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 6.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 6.2.1.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Langkah 6.2.1.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.4.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Langkah 6.2.1.3.4.2

Gabungkan $\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2}$ dan $x$ .

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Langkah 6.2.1.3.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 e^{\frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Langkah 6.2.1.3.4.3.2

Bagilah $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ dengan $1$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} x$

Langkah 6.2.1.3.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{x^{2}}{2}} x$ .

$x e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 \int d u_{2}$

Langkah 6.3

Terapkan aturan konstanta.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 (u_{2} + C)$

Langkah 6.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 u_{2} + C$

Langkah 6.4.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Langkah 6.4.3

Susun kembali suku-suku.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ dengan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 3 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ dengan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ dan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ dari $3 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ dengan $1$ .

$y = 3 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{2}$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 3 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.2.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $0$ .

$y = 3 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$y = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$y = 3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Langkah 7.3.1.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$y = 3 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$