Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

Langkah 1

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $y = e^{r x}$ .

Langkah 2

Temukan persamaan karakteristik untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Langkah 2.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Langkah 2.4

Faktorkan $e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Faktorkan $e^{r x}$ dari $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Langkah 2.4.2

Faktorkan $e^{r x}$ dari $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

Langkah 2.4.3

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

Langkah 2.5

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan identitas sudut ganda untuk mengubah $\cos (2 x)$ menjadi $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Langkah 3.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan untuk $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Langkah 3.4.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

$r = - \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Langkah 4

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$y_{1} = e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

$y_{2} = e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$

Langkah 5

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$y = c_{1} e^{\sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x} + c_{2} e^{- \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)} x}$