Kalkulus Contoh

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} - y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} y - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Langkah 3.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Langkah 3.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Langkah 3.2.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x y - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.2

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y$ terhadap $x$ adalah $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.5

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Tambahkan $3 y$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.6.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Langkah 3.4.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $3 x y - 4$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Langkah 3.4.8.2

Tambahkan $3 x y$ dan $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.3

Gabungkan $\frac{x \cdot 6}{2}$ dan $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.4

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.5.2.4

Bagilah $3 x y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Langkah 3.5.2.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Langkah 3.5.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Langkah 3.5.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Langkah 3.5.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Langkah 3.5.2.7.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x y - 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 x y - 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $3 x y - 2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $2 x y - 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x y^{2} - y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x y^{2} - y$ untuk $M$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Langkah 5.3.2.4

Kurangi $2 x y$ dengan $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Langkah 5.3.2.5

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Langkah 5.3.2.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y$ dari $x y^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Langkah 5.3.4

Substitusikan $x y^{2} - y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 6.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ dengan faktor integral $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $x y^{2} - y$ dengan $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Pindahkan $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.3.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Pindahkan $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.4.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ dengan $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Langkah 7.6

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} y - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Langkah 7.6.2

Faktorkan $x$ dari $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Langkah 7.6.3

Faktorkan $x$ dari $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Langkah 7.7

Gabungkan $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ dan $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Langkah 7.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $\frac{x}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{x}{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Langkah 9.2

Perluas $y (3 x y - 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Langkah 9.2.2

Pindahkan tanda kurung.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Langkah 9.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Langkah 9.2.4

Susun kembali $y$ dan $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Langkah 9.2.5

Susun kembali $y$ dan $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Langkah 9.3.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Langkah 9.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Langkah 9.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Langkah 9.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Langkah 9.5

Karena $3 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Langkah 9.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Langkah 9.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Langkah 9.8

Karena $- 4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Langkah 9.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Langkah 9.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Langkah 9.11

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Langkah 9.12

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \frac{x}{2}$ dan $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{3} - 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.4

Karena $y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y^{3}$ terhadap $x$ adalah $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.6

Karena $- 2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.9

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.10

Tambahkan $y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.11

Gabungkan $\frac{x}{2}$ dan $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.12

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.13

Untuk menuliskan $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.14

Gabungkan $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.16

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.17

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.17.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.17.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.18

Kalikan $x y^{3} - 2 y^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.3.19

Tambahkan $x y^{3}$ dan $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1.1

Untuk menuliskan $\frac{d g}{d x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.2

Gabungkan $\frac{d g}{d x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.4

Faktorkan $2$ dari $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1.5.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.1.5.6.4

Bagilah $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ dengan $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 12.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Tambahkan $y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $y^{3} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Langkah 13.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.1

Tambahkan $- y^{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Langkah 13.1.3.2

Tambahkan $x y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Langkah 13.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x y^{3}$ dan $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Langkah 13.1.3.4

Kurangi $y^{3} x$ dengan $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 14

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 14.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 14.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Langkah 16

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.3

Kalikan $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.3.6

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Langkah 16.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Langkah 16.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Langkah 16.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Langkah 16.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$