Kalkulus Contoh

$3 x^{2} y d x + (y + x^{3}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y]$

Langkah 1.2

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2} y$ terhadap $y$ adalah $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Langkah 1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x^{3}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.3

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 x^{2}$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $3 x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 x^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 x^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 3 x^{2} y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $3 y \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = 3 y \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = y \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 5.3.2.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y \cdot 3}{3} x^{3} + C$

Langkah 5.3.2.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot y}{3} x^{3} + C$

Langkah 5.3.2.4

Kalikan $3$ dengan $y$ .

$f (x, y) = \frac{3 y}{3} x^{3} + C$

Langkah 5.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{3 y}{3} x^{3} + C$

Langkah 5.3.2.5.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x^{3}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} + g (y)] = y + x^{3}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x^{3} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x^{3}$ terhadap $y$ adalah $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x^{3}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} + \frac{d g}{d y} = y + x^{3}$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} = y + x^{3}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = y + x^{3} - x^{3}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y + x^{3} - x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $x^{3}$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Langkah 10

Temukan $y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Langkah 10.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 12

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} + \frac{y^{2}}{2} + C$