Kalkulus Contoh

$(2 x y + y^{3} \cos (x)) d x + (x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3} \cos (x)]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + y^{3} \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) (3 y^{2})$

Langkah 1.4.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \cos (x) y^{2}$

Langkah 1.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2} \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cos (x)$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} \sin (x) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Langkah 5.3

Karena $3 \sin (x)$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3 \sin (x)$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) \int y^{2} d y$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = x^{2} y + 3 \sin (x) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3}{3} \sin (x) y^{3} + C$

Langkah 5.6.2

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $\sin (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Langkah 5.6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Langkah 5.6.3.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\sin (x) y^{3}$ terhadap $x$ adalah $y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y x + y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.4.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $y^{3} \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) + 0 - y^{3} \cos (x)$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $y^{3} \cos (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) - y^{3} \cos (x)$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $y^{3} \cos (x)$ dengan $y^{3} \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Langkah 10

Temukan $0$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Langkah 10.3

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (x) = C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} \sin (x) + C$