Kalkulus Contoh

$(x^{2} - 16) \frac{d y}{d x} + x y = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x} + x y = 0$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari $x^{2} \frac{d y}{d x} - 16 \frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} - 16 \frac{d y}{d x} = - x y$

Langkah 1.1.3.2

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari $- 16 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 16 = - x y$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $\frac{d y}{d x}$ dari $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot - 16$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 16) = - x y$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} - 4^{2}) = - x y$

Langkah 1.1.5

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$\frac{d y}{d x} ((x + 4) (x - 4)) = - x y$

Langkah 1.1.5.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$

Langkah 1.1.6

Bagi setiap suku pada $\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$ dengan $(x + 4) (x - 4)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Bagilah setiap suku di $\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4) = - x y$ dengan $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 1.1.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 1.1.6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 4)}{x - 4} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 1.1.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 4)}{x - 4} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 1.1.6.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 1.1.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y)$

Langkah 1.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 4) (x - 4)})$

Langkah 1.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 4) (x - 4)})$

Langkah 1.4.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 4) (x - 4)} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = (x + 4) (x - 4)$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = (x + 4) (x - 4)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 4) (x - 4)]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 4$ dan $g (x) = x - 4$ .

$(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 4) (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 2.3.2.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 4) \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 2.3.2.1.3.4.2

Kalikan $x + 4$ dengan $1$ .

$x + 4 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x + 4]$

Langkah 2.3.2.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x + 4 + (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.3.2.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x + 4 + (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 2.3.2.1.3.7

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x + 4 + (x - 4) (1 + 0)$

Langkah 2.3.2.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$x + 4 + (x - 4) \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.3.8.2

Kalikan $x - 4$ dengan $1$ .

$x + 4 + x - 4$

Langkah 2.3.2.1.3.8.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$2 x + 4 - 4$

Langkah 2.3.2.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.8.4.1

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.2.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(x + 4) (x - 4)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 4) (x - 4) |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 4) (x - 4) |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\ln (| (x + 4) (x - 4) |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 4) (x - 4) |)}{2} + C$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 4) (x - 4) |)}{2} = C$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas $(x + 4) (x - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 4) + 4 (x - 4) |)}{2} = C$

Langkah 3.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) |)}{2} = C$

Langkah 3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

Langkah 3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot - 4$ dan $4 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $- 4 x$ dan $4 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $x \cdot x$ dan $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 4 \cdot - 4 |)}{2} = C$

Langkah 3.3.3.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.4

Untuk menuliskan $\ln (| y |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Gabungkan $\ln (| y |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.7

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.7.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.7.1.1.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)}{2} = C$

Langkah 3.7.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |) = C$

Langkah 3.7.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 16 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 16 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.7.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $y^{2} | x^{2} - 16 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.7.1.5

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.7.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.7.1.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.7.1.6

Sederhanakan.

$\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.8

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Langkah 3.9

Tulis kembali $\ln (y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Langkah 3.10.2

Bagi setiap suku pada $y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ dengan ${| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1

Bagilah setiap suku di $y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ dengan ${| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.10.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y {| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.10.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 16 |}^{\frac{1}{2}}}$