Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - 0.4 y$ , $y (0) = 90$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.4 y)$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.4 \frac{1}{y} y$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $- 0.4$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.4}{y} y$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.4}{y} y$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.4$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = - 0.4 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 0.4 d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 0.4 d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 0.4 x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - 0.4 x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 0.4 x + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - 0.4 x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.4 x + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- 0.4 x + C}$ .

$| y | = e^{- 0.4 x + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 0.4 x + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- 0.4 x + C}$ sebagai $e^{- 0.4 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 0.4 x} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- 0.4 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 0.4 x}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- 0.4 x}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $90$ untuk $y$ padda $y = C e^{- 0.4 x}$ .

$90 = C e^{- 0.4 \cdot 0}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{- 0.4 \cdot 0} = 90$ .

$C e^{- 0.4 \cdot 0} = 90$

Langkah 6.2

Sederhanakan $C e^{- 0.4 \cdot 0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 0.4$ dengan $0$ .

$C e^{0} = 90$

Langkah 6.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C \cdot 1 = 90$

Langkah 6.2.3

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C = 90$

Langkah 7

Substitusikan $90$ untuk $C$ dalam $y = C e^{- 0.4 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $90$ untuk $C$ .

$y = 90 e^{- 0.4 x}$