Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = y + 5 t$

Langkah 1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d t} - y = 5 t$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d t}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- t + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- t}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} (5 t)$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} (5 t)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = 5 t e^{- t}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = 5 t e^{- t}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int 5 t e^{- t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- t} y = \int 5 t e^{- t} d t$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$e^{- t} y = 5 \int t e^{- t} d t$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t)$

Langkah 7.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t)$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\int e^{- t} d t$ dengan $1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t)$

Langkah 7.5

Biarkan $u = - t$ . Kemudian $d u = - d t$ sehingga $- d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Biarkan $u = - t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Diferensialkan $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 7.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 7.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 7.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$

Langkah 7.8

Tulis kembali $5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$ sebagai $5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$

Langkah 7.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- t$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ dengan $e^{- t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ dengan $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{5 (- t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = \frac{- 5 (t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$y = \frac{- 5 t e^{- t} - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 t e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t})$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $C$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.6.1

Tulis kembali $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ sebagai $- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

Langkah 8.3.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C}{e^{- t}}$