Kalkulus Contoh

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $\sqrt{1 + x^{2}}$ dari $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

Langkah 3.3.3

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Langkah 3.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Langkah 3.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

Langkah 3.4

Gabungkan $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Langkah 3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Langkah 3.6

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

Langkah 3.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ dengan $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Langkah 3.7.2

Naikkan $\sqrt{1 + x^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Langkah 3.7.3

Naikkan $\sqrt{1 + x^{2}}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

Langkah 3.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

Langkah 3.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

Langkah 3.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ sebagai $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + x^{2}}$ sebagai ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Langkah 3.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Langkah 3.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Langkah 3.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Langkah 3.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

Langkah 3.7.6.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u = 1 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 4.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{u}}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Langkah 4.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.5.2.2

Kalikan $u$ dengan $u^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.2.1

Kalikan $u$ dengan $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.2.1.1

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.5.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.5.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.5.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.5.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.5.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3.5.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.5.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.5.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.7.2.3.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Langkah 5.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Langkah 5.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ sebagai $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Langkah 6.2

Susun kembali $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$