Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d t}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- t + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- t}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

Langkah 2.3

Kalikan $e^{- t}$ dengan $1$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = - t$ . Kemudian $d u = - d t$ sehingga $- d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Biarkan $u = - t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Diferensialkan $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Langkah 6.1.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 6.1.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

Langkah 6.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

Langkah 6.3

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

Langkah 6.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- t$ .

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ dengan $e^{- t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ dengan $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

Langkah 8

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ .

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Langkah 9

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Langkah 9.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

Langkah 9.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$- 1 + C = 1$

Langkah 9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 1 + 1$

Langkah 9.3.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$C = 2$

Langkah 10

Substitusikan $2$ untuk $C$ dalam $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Substitusikan $2$ untuk $C$ .

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$