Kalkulus Contoh

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$2 y d y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.2.3.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = x^{2} - 16$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = x^{2} - 16$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 16$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.3

Kalikan $u^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y^{2} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 16$ .

$y^{2} + C_{1} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y^{2} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + K$