Kalkulus Contoh

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $t$ ke kedua sisi persamaan.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ dengan $t^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ dengan $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $t$ dan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1.1

Faktorkan $t$ dari $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1.2.1

Faktorkan $t$ dari $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $t$ dan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.2

Faktorkan $t$ dari $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.2.3.1

Faktorkan $t$ dari $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Langkah 1.1.2.3.1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.2

Untuk menuliskan $\frac{y}{t}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $t^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $\frac{y}{t}$ dengan $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.3.2

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.3.3

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Langkah 1.2.5

Untuk menuliskan $\frac{1}{t}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

Langkah 1.2.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $t^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Kalikan $\frac{1}{t}$ dengan $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

Langkah 1.2.6.2

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

Langkah 1.2.6.3

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

Langkah 1.2.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

Langkah 1.2.6.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Langkah 1.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

Langkah 1.2.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

Langkah 1.2.8.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

Langkah 1.2.8.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Langkah 1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y + 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $t^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.2

Kalikan $(1 + t) t^{- 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $t^{- 2}$ dengan $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $t$ dengan $t^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Kalikan $t$ dengan $t^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Langkah 2.3.3.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Langkah 2.3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{- 2}$ terhadap $t$ adalah $- t^{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

Langkah 2.3.6

Integral dari $t^{- 1}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| t |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| t |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ .

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Langkah 3.5.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Langkah 3.5.4.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- \frac{1}{t} + C}$ sebagai $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- \frac{1}{t}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$