Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 \sqrt{x}}$ , $y (25) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 2.3.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $\frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $25$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Langkah 4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Langkah 4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{3} \cdot 5^{1} + K = 0$

Langkah 4.2.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{2}{3} \cdot 5 + K = 0$

Langkah 4.2.5

Kalikan $\frac{2}{3} \cdot 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $5$ .

$\frac{2 \cdot 5}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{10}{3} + K = 0$

Langkah 4.3

Kurangkan $\frac{10}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - \frac{10}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{10}{3}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{10}{3}$ untuk $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} - \frac{10}{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{10}{3}$