Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} + 2 = 3 x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 3 x - 2$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 3 x - 2$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 3 x - 2$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{3})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{3}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{3}{x}$ dan $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Pindahkan $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} + x^{3} \cdot - 2$

Langkah 3.3.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Langkah 7.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$x^{3} y = 3 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Langkah 7.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Langkah 7.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Sederhanakan.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Langkah 7.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Langkah 7.6.2.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ dengan $x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ dengan $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $\frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{3}{5} x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $\frac{3}{5}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $- \frac{1}{2} x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.3.2.4

Bagilah $- \frac{1}{2} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{3}}$

Langkah 8.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{3}}$