Kalkulus Contoh

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Langkah 1.2.2

Karena $\tan (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\tan (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- \sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- \sin (x) \sin (y)$ terhadap $y$ adalah $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Langkah 1.3.2

Turunan dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kurangi $\sin (x) \cos (y)$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

Langkah 1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Langkah 2.2

Karena $\cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\cos (x) \cos (y)$ terhadap $x$ adalah $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 2.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dari $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- \cos (y) \sin (x)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- \cos (y) \sin (x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\cos (x)$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

Langkah 5.2

Integral dari $\cos (y)$ terhadap $y$ adalah $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $\sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\cos (x) \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 8.3.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Sederhanakan $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1.1

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 9.1.1.1.2

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Langkah 9.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $\sin (x) \sin (y)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1

Tambahkan $- \sin (x) \sin (y)$ dan $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

Langkah 9.1.2.2.2

Tambahkan $\tan (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Langkah 9.1.2.3

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 9.1.2.4

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Langkah 10

Temukan $\tan (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

Langkah 10.3

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$