Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Langkah 2.2.5.2

Sederhanakan.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Langkah 3.2

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $\frac{x^{3}}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Langkah 3.2.2

Kurangkan $5 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Langkah 3.2.3

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Langkah 3.3

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $3$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{3}}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Langkah 3.3.3

Pindahkan $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Langkah 3.3.4

Pindahkan $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Langkah 3.3.5

Susun kembali $3 y^{2}$ dan $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Langkah 3.4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5

Substitusikan nilai-nilai $a = 3$ , $b = - 3$ , dan $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.4.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.4.3

Kalikan $- 15$ dengan $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.5

Faktorkan $3$ dari $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.5.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.5.2

Faktorkan $3$ dari $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.5.3

Faktorkan $3$ dari $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.5.4

Faktorkan $3$ dari $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.5.5

Faktorkan $3$ dari $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.5.6

Faktorkan $3$ dari $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.1.5.7

Faktorkan $3$ dari $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Langkah 3.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Langkah 5

Karena $y$ positif pada sarat awal $(0, 11)$ , hanya pertimbangkan $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $0$ untuk $x$ dan $11$ untuk $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Langkah 6.2

Kalikan kedua ruas dengan $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Sederhanakan $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.1.1.1.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.1.1.1.3

Kalikan $60$ dengan $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.1.1.1.4

Tambahkan $3 + 0 + K$ dan $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.1.1.1.5

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.1.1.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Susun kembali $3$ dan $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Kalikan $11$ dengan $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Langkah 6.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\sqrt{3 (K + 3)}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Langkah 6.4.1.2

Kurangi $3$ dengan $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Langkah 6.4.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 (K + 3)}$ sebagai ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Langkah 6.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1

Sederhanakan ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Langkah 6.4.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Langkah 6.4.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Langkah 6.4.3.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Langkah 6.4.3.2.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1.3.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Langkah 6.4.3.2.1.3.2

Sederhanakan.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Langkah 6.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.1

Naikkan $63$ menjadi pangkat $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Langkah 6.4.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.1.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 K = 3969 - 9$

Langkah 6.4.4.1.2

Kurangi $9$ dengan $3969$ .

$3 K = 3960$

Langkah 6.4.4.2

Bagi setiap suku pada $3 K = 3960$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.2.1

Bagilah setiap suku di $3 K = 3960$ dengan $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Langkah 6.4.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Langkah 6.4.4.2.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Langkah 6.4.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.4.2.3.1

Bagilah $3960$ dengan $3$ .

$K = 1320$

Langkah 7

Substitusikan $1320$ untuk $K$ dalam $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $1320$ untuk $K$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Langkah 7.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tambahkan $3$ dan $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Langkah 7.2.2

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$