Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

Langkah 1

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $x = e^{r t}$ .

Langkah 2

Temukan persamaan karakteristik untuk $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Langkah 2.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

Langkah 2.4

Hilangkan tanda kurung.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Langkah 2.5

Faktorkan $e^{r t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $e^{r t}$ dari $r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $e^{r t}$ dari $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Langkah 2.5.3

Faktorkan $e^{r t}$ dari $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Langkah 2.5.4

Faktorkan $e^{r t}$ dari $5 e^{r t}$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

Langkah 2.5.5

Faktorkan $e^{r t}$ dari $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

Langkah 2.6

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kurangkan $10$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

Langkah 3.2

Kurangi $10$ dengan $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan $r^{2} + 4 r - 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 5$ dan jumlahnya $4$ .

$- 1, 5$

Langkah 3.3.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

Langkah 3.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

Langkah 3.5

Atur $r - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $r - 1$ sama dengan $0$ .

$r - 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$r = 1$

Langkah 3.6

Atur $r + 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Atur $r + 5$ sama dengan $0$ .

$r + 5 = 0$

Langkah 3.6.2

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r = - 5$

Langkah 3.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(r - 1) (r + 5) = 0$ benar.

$r = 1, - 5$

Langkah 4

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

Langkah 5

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

Langkah 6

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$