Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

Langkah 1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int d t}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{t + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{t}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

Langkah 3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t^{2}$ dan $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

Langkah 7.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

Langkah 7.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

Langkah 7.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Langkah 7.5

Integral dari $e^{t}$ terhadap $t$ adalah $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Langkah 7.6

Tulis kembali $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ sebagai $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ dengan $e^{t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ dengan $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $t^{2}$ dengan $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Bagilah $- 2 t$ dengan $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$