Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x e^{- x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = x e^{- x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x e^{- x} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x e^{- x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.4

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Langkah 2.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Tulis kembali $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$ sebagai $- x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 2.3.9

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - e^{- x} x - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - e^{- x} x - e^{- x} + K$