Kalkulus Contoh

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{r}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $r$ dari $r \tan (θ)$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

Langkah 1.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Langkah 1.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{r}$ terhadap $r$ adalah $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\tan (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

Langkah 3.3

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $r$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

Langkah 3.6

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| r \sec (θ) | = e^{C}$ .

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

Langkah 3.6.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

Langkah 3.6.3

Bagi setiap suku pada $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ dengan $\sec (θ)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Bagilah setiap suku di $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ dengan $\sec (θ)$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Langkah 3.6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Langkah 3.6.3.2.1.2

Bagilah $r$ dengan $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Langkah 3.6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.3.1

Pisahkan pecahan.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Langkah 3.6.3.3.2

Tulis kembali $\sec (θ)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Langkah 3.6.3.3.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

Langkah 3.6.3.3.4

Kalikan $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

Langkah 3.6.3.3.5

Bagilah $\pm e^{C}$ dengan $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

Langkah 3.6.3.3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ .

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$r = \cos (θ) C$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $π$ untuk $θ$ dan $2$ untuk $r$ padda $r = \cos (θ) C$ .

$2 = \cos (π) C$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\cos (π) C = 2$ .

$\cos (π) C = 2$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada $\cos (π) C = 2$ dengan $\cos (π)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di $\cos (π) C = 2$ dengan $\cos (π)$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Pisahkan pecahan.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Langkah 6.2.3.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (π)}$ ke $\sec (π)$ .

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

Langkah 6.2.3.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

Langkah 6.2.3.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sekan negatif di kuadran kedua.

$C = 2 (- \sec (0))$

Langkah 6.2.3.5

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

Langkah 6.2.3.6

Kalikan $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

Langkah 6.2.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$C = - 2$

Langkah 7

Substitusikan $- 2$ untuk $C$ dalam $r = \cos (θ) C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- 2$ untuk $C$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

Langkah 7.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$