Kalkulus Contoh

$2 x d y + 3 y d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $3 y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x d y = - 3 y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{x y} y d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x y} y d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Langkah 5.2.1.1.3

Sederhanakan $3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y^{2} {| x |}^{3})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} {| x |}^{3}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ dengan ${| x |}^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ dengan ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x |}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Langkah 5.5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Langkah 5.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Tulis kembali $\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$ sebagai ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Langkah 5.5.4.1.2

Faktorkan kuadrat sempurna ${| x |}^{2}$ dari ${| x |}^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}}$

Langkah 5.5.4.1.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}}$

Langkah 5.5.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Langkah 5.5.4.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ sebagai $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Langkah 5.5.4.4

Gabungkan.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Langkah 5.5.4.5

Kalikan $\sqrt{e^{C}}$ dengan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Langkah 5.5.4.6

Kalikan $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ dengan $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Langkah 5.5.4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.7.1

Kalikan $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ dengan $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Langkah 5.5.4.7.2

Pindahkan $\sqrt{| x |}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}$

Langkah 5.5.4.7.3

Naikkan $\sqrt{| x |}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}$

Langkah 5.5.4.7.4

Naikkan $\sqrt{| x |}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}$

Langkah 5.5.4.7.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.5.4.7.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}$

Langkah 5.5.4.7.7

Tulis kembali ${\sqrt{| x |}}^{2}$ sebagai $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.7.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{| x |}$ sebagai ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.5.4.7.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.5.4.7.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.5.4.7.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.7.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.5.4.7.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}$

Langkah 5.5.4.7.7.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}$

Langkah 5.5.4.8

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x | | x |}$

Langkah 5.5.4.9

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x \cdot x |}$

Langkah 5.5.4.10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.10.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x^{2} |}$

Langkah 5.5.4.10.2

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Langkah 5.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$

$y = - \frac{\sqrt{C | x |}}{x^{2}}$