Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 6 y^{2} x$ , $y (1) = \frac{1}{25}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (6 y^{2} x)$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} (x))$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 6 x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 6 x d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 6 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ sebagai $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = 3 x^{2} y + K y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 x^{2} y + K y = - 1$ .

$3 x^{2} y + K y = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $3 x^{2} y + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + K y = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y (3 x^{2}) + y K = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (3 x^{2}) + y K$ .

$y (3 x^{2} + K) = - 1$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $y (3 x^{2} + K) = - 1$ dengan $3 x^{2} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y (3 x^{2} + K) = - 1$ dengan $3 x^{2} + K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x^{2} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Langkah 3.3.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $\frac{1}{25}$ untuk $y$ padda $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ .

$\frac{1}{25} = - \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K}$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$

Langkah 5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{3 \cdot 1 + K} = \frac{1}{25}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$3 + K, 25$

Langkah 5.3.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.3.3

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.3.4

$25$ memiliki faktor $5$ dan $5$ .

$5 \cdot 5$

Langkah 5.3.5

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$25$

Langkah 5.3.6

Faktor untuk $3 + K$ adalah $3 + K$ itu sendiri.

$(3 + K) = 3 + K$

$(3 + K)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.3.7

KPK dari $3 + K$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

$3 + K$

Langkah 5.3.8

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$25 (3 + K)$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ dengan $25 (3 + K)$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ dengan $25 (3 + K)$ .

$- \frac{1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3 + K}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Langkah 5.4.2.1.2

Faktorkan $3 + K$ dari $25 (3 + K)$ .

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Langkah 5.4.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Langkah 5.4.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Langkah 5.4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $25$ .

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Langkah 5.4.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 25 = 3 + K$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 + K = - 25$ .

$3 + K = - 25$

Langkah 5.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 25 - 3$

Langkah 5.5.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 25$ .

$K = - 28$

Langkah 6

Substitusikan $- 28$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $- 28$ untuk $K$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{2} - 28}$