Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $\frac{x}{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Tambahkan $\frac{y}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} = \frac{y}{x}$

Langkah 1.1.2.2

Tambahkan $\frac{x}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{- 1}$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{- 1}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V}$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V} - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $V + \frac{1}{V} - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 0$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $\frac{1}{V}$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.2

Kalikan $\frac{1}{V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x}$

Langkah 6.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V (\frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Kalikan $\frac{1}{V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Langkah 6.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.2.1

Faktorkan $V$ dari $V x$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V (x)}$

Langkah 6.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Langkah 6.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$V d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $V$ terhadap $V$ adalah $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} V^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $V^{2}$ .

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Langkah 6.3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Langkah 6.3.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 6.3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 6.3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 6.3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Langkah 6.4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Langkah 8.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Langkah 9.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Langkah 9.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Langkah 9.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Langkah 10

Sebutkan penyelesaian-penyelesaiannya.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$