Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{y + \ln (x)}{x}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $\frac{y}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $- \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 3.3

Kalikan $\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

Langkah 3.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

Langkah 3.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

Langkah 3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 7.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \ln (x)$ dan $d v = x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.3.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Langkah 7.3.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Langkah 7.3.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Langkah 7.3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Langkah 7.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7.5.1.2

Kalikan $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 7.5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 7.5.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.5.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Langkah 7.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Langkah 7.7

Tulis kembali $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ sebagai $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tambahkan $\frac{\ln (x)}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 8.1.2

Tambahkan $\frac{1}{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

Langkah 8.1.3

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Langkah 8.1.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kurangkan $\frac{\ln (x)}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 8.2.2

Kurangkan $\frac{1}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (x)}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

Langkah 8.4.2.1.3

Pindahkan $- 1$ .

$y = - \ln (x) + C x - 1$

Langkah 8.4.2.1.4

Susun kembali $- \ln (x)$ dan $C x$ .

$y = C x - \ln (x) - 1$