Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ , $y (16) = 6$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{2})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x^{\frac{1}{2}} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 3, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $y, 3, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 3, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.5

Karena $3$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $3$ .

$3$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.7

KPK dari $1, 3, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$3$

Langkah 3.2.8

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.9

KPK dari $y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 3.2.10

KPK untuk $y, 3, 1$ adalah bagian bilangan $3$ dikalikan dengan bagian variabel.

$3 y$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ dengan $3 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + K$ dengan $3 y$ .

$- \frac{1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} (3 y) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $3 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 3) = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} (3 y) + K (3 y)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 = 3 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} y + K (3 y)$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + K (3 y)$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = 2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$

Langkah 3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 x^{\frac{3}{2}} y + 3 K y$ .

$- 3 = 2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$ .

$2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y = - 3$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $2 y x^{\frac{3}{2}} + 3 K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $2 y x^{\frac{3}{2}}$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + 3 K y = - 3$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $3 K y$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K) = - 3$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (2 x^{\frac{3}{2}}) + y (3 K)$ .

$y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ dengan $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K) = - 3$ dengan $2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K$ .

$\frac{y (2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K)}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K} = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + 3 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $16$ untuk $x$ dan $6$ untuk $y$ padda $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ .

$6 = - \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K}$

Langkah 6

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K} = 6$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K} = 6$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2 \cdot 4^{3} + K} = 6$

Langkah 6.2.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 64 + K} = 6$

Langkah 6.2.5

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$- \frac{3}{128 + K} = 6$

Langkah 6.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$128 + K, 1$

Langkah 6.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$128 + K, 1$

Langkah 6.3.3

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$128 + K$

Langkah 6.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{3}{128 + K} = 6$ dengan $128 + K$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{3}{128 + K} = 6$ dengan $128 + K$ .

$- \frac{3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $128 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{128 + K}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Langkah 6.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3}{128 + K} (128 + K) = 6 (128 + K)$

Langkah 6.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 = 6 (128 + K)$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Terapkan sifat distributif.

$- 3 = 6 \cdot 128 + 6 K$

Langkah 6.4.3.2

Kalikan $6$ dengan $128$ .

$- 3 = 768 + 6 K$

Langkah 6.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $768 + 6 K = - 3$ .

$768 + 6 K = - 3$

Langkah 6.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Kurangkan $768$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 K = - 3 - 768$

Langkah 6.5.2.2

Kurangi $768$ dengan $- 3$ .

$6 K = - 771$

Langkah 6.5.3

Bagi setiap suku pada $6 K = - 771$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.1

Bagilah setiap suku di $6 K = - 771$ dengan $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Langkah 6.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 K}{6} = \frac{- 771}{6}$

Langkah 6.5.3.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{- 771}{6}$

Langkah 6.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 771$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 771$ .

$K = \frac{3 (- 257)}{6}$

Langkah 6.5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Langkah 6.5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$K = \frac{3 \cdot - 257}{3 \cdot 2}$

Langkah 6.5.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$K = \frac{- 257}{2}$

Langkah 6.5.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$K = - \frac{257}{2}$

Langkah 7

Substitusikan $- \frac{257}{2}$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $- \frac{257}{2}$ untuk $K$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{257}{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Untuk menuliskan $2 x^{\frac{3}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{257}{2}}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $2 x^{\frac{3}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{257}{2}}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = - \frac{3}{\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - 257}{2}}$

Langkah 7.2.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = - \frac{3}{\frac{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}{2}}$

Langkah 7.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - (3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257})$

Langkah 7.4

Kalikan $3 \frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$

Langkah 7.4.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = - \frac{6}{4 x^{\frac{3}{2}} - 257}$