Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 2 x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 2 x$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 2 x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (x)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (2 x)$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (2 x)$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (2 x)$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (2 x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x \cdot x$

Langkah 3.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 (x \cdot x)$

Langkah 3.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x^{2}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x y] = 2 x^{2}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 2 x^{2} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x y = \int 2 x^{2} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$x y = 2 \int x^{2} d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{2}{3} x^{3} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x y = \frac{2}{3} x^{3} + C$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x y = \frac{2}{3} x^{3} + C$ dengan $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{2}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $\frac{2}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x (\frac{2}{3} x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{2}{3} x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.1.2.5

Bagilah $\frac{2}{3} x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{2}{3} x^{2} + \frac{C}{x}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{C}{x}$