Kalkulus Contoh

$(3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}) d x + (e^{x + y} - 2 x + 4) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Langkah 1.2.2

Karena $3 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 1.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 1.4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 1.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 1.4.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 1.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + 1)$

Langkah 1.4.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \cdot 1$

Langkah 1.4.6

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y}$

Langkah 1.5

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + e^{x + y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x + 4]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x + y} - 2 x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.3.6

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $e^{x + y} - 2$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 2 + e^{x + y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $e^{x + y} - 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} - 2 x + 4 d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Langkah 5.2

Biarkan $u = x + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Biarkan $u = x + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Diferensialkan $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 5.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5.2.1.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 5.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Langkah 5.3

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + \int 4 d y$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + 4 y + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = e^{u} - 2 x y + 4 y + C$

Langkah 5.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.3.6

Kalikan $e^{x + y}$ dengan $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x + y} - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x + y} - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.5

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $e^{x + y} - 2 y$ dan $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 8.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 y + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $e^{x + y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Tambahkan $- 2 y$ dan $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0 + e^{x + y} - e^{x + y}$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + e^{x + y} - e^{x + y}$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $e^{x + y}$ dengan $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Langkah 10

Temukan $3 x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 10.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + x^{3} + C$