Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (x^{3} + 2) y^{3}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{3} + 2) y^{3})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $(x^{3} + 2) y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{3} + 2$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{3}} d y = (x^{3} + 2) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} d x + \int 2 d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int 2 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y^{2}, 4, 1, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $2 y^{2}, 4, 1, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $2, 4, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{2}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.5

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2$

Langkah 3.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.7

KPK dari $2, 4, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 2$

Langkah 3.2.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4$

Langkah 3.2.9

Faktor-faktor untuk $y^{2}$ adalah $y \cdot y$ , yaitu $y$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ terjadi $2$ kali.

Langkah 3.2.10

KPK dari $y^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y$

Langkah 3.2.11

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2}$

Langkah 3.2.12

KPK untuk $2 y^{2}, 4, 1, 1$ adalah bagian bilangan $4$ dikalikan dengan bagian variabel.

$4 y^{2}$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ dengan $4 y^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ dengan $4 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $4 y^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (2)) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} \cdot 2) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 \cdot 4 x y^{2} + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + K (4 y^{2})$

Langkah 3.3.3.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$ .

$x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x^{4} y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $8 x y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + 4 K y^{2} = - 2$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $4 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

Langkah 3.4.2.4

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x)$ .

$y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

Langkah 3.4.2.5

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K)$ .

$y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ dengan $x^{4} + 8 x + 4 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ dengan $x^{4} + 8 x + 4 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4} + 8 x + 4 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Langkah 3.4.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Langkah 3.4.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Langkah 3.4.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + K}}$