Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$ , $y (0) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{4}{1 + x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 1 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + x$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ .

$3 = 4 \ln (| 1 + 0 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$ .

$4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan $4 \ln (| 1 + 0 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$4 \ln (1) + C = 3$

Langkah 4.2.2.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$4 \cdot 0 + C = 3$

Langkah 4.2.2.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$0 + C = 3$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$C = 3$

Langkah 5

Substitusikan $3$ untuk $C$ dalam $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $3$ untuk $C$ .

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $4 \ln (| 1 + x |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{4}) + 3$

Langkah 5.2.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| 1 + x |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \ln ({(1 + x)}^{4}) + 3$