Kalkulus Contoh

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\arctan (x) + x y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 1.2.2

Karena $\arctan (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\arctan (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 2.2.2

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $\frac{2}{2}$ dan $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Langkah 2.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Langkah 2.3.5.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Langkah 2.4

Tambahkan $0$ dan $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = x$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$x = x$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Langkah 5.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Langkah 5.4

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.2.2

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{y}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{2} y}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $\frac{2 y}{2}$ dan $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.3.7.2

Bagilah $y x$ dengan $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tambahkan $0$ dan $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $\arctan (x) + x y - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $x y$ dengan $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $\arctan (x)$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Langkah 10

Temukan $\arctan (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Langkah 10.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arctan (x)$ dan $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 10.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 10.5

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 10.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 10.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 10.5.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 10.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 10.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 10.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Langkah 10.6.3

Kalikan $2$ dengan $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 10.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 10.8

Hilangkan tanda kurung.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 10.9

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 10.10

Sederhanakan.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Langkah 10.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 12.1.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 12.1.3

Kalikan $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Susun kembali $\ln (| x^{2} + 1 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Langkah 12.1.3.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 12.2

Untuk menuliskan $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 12.3

Gabungkan $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 12.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Kalikan $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Langkah 12.5.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Langkah 12.5.2

Kalikan eksponen dalam ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Langkah 12.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Langkah 12.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Langkah 12.5.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Langkah 12.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$