Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 7$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = - 5 e^{x + 5} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 5$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{x + 5} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = x + 5$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = x + 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.3

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 5$ .

$y + C_{1} = - 5 e^{x + 5} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $- 5$ untuk $x$ dan $7$ untuk $y$ padda $y = - 5 e^{x + 5} + K$ .

$7 = - 5 e^{- 5 + 5} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$ .

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- 5 e^{- 5 + 5} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tambahkan $- 5$ dan $5$ .

$- 5 e^{0} + K = 7$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 5 \cdot 1 + K = 7$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 5 + K = 7$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 7 + 5$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $7$ dan $5$ .

$K = 12$

Langkah 5

Substitusikan $12$ untuk $K$ dalam $y = - 5 e^{x + 5} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $12$ untuk $K$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + 12$