Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

Langkah 1

Asumsikan semua penyelesaian sebagai bentuk $y = e^{r x}$ .

Langkah 2

Temukan persamaan karakteristik untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Langkah 2.3

Substitusikan ke dalam persamaan diferensial.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Langkah 2.4

Hilangkan tanda kurung.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Langkah 2.5

Faktorkan $e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Faktorkan $e^{r x}$ dari $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $e^{r x}$ dari $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Langkah 2.5.3

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Langkah 2.5.4

Faktorkan $e^{r x}$ dari $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

Langkah 2.5.5

Faktorkan $e^{r x}$ dari $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

Langkah 2.6

Karena eksponensial tidak boleh nol, bagi kedua sisi dengan $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kurangkan $4 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.3

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 3$ , dan $c = 2 - 4 x^{2}$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.1.6

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.1.6

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Langkah 3.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3

Terapkan sifat distributif.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.6

Kurangi $8$ dengan $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Langkah 3.6.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Langkah 3.7

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Langkah 4

Dengan dua nilai yang ditemukan dari $r$ , dua penyelesaan dapat dibuat.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Langkah 5

Menurut prinsip superposisi, penyelesaian umumnya adalah kombinasi linear kedua penyelesaian untuk persamaan diferensial linear homogen ordo dua.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Langkah 6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ dan $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ dan $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$