Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x {(2 + x^{2})}^{4}$ , $y (0) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x {(2 + x^{2})}^{4} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = 2 + x^{2}$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = 2 + x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$2 x$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $u^{4}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{4}}{2} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{4}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 5} u^{5} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} u^{5} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 + x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ .

$0 = \frac{1}{10} {(2 + 0^{2})}^{5} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0^{2})}^{5} + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot {(2 + 0)}^{5} + K = 0$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot 2^{5} + K = 0$

Langkah 4.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$\frac{1}{10} \cdot 32 + K = 0$

Langkah 4.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + K = 0$

Langkah 4.2.4.2

Faktorkan $2$ dari $32$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Langkah 4.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + K = 0$

Langkah 4.2.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{5} \cdot 16 + K = 0$

Langkah 4.2.5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $16$ .

$\frac{16}{5} + K = 0$

Langkah 4.3

Kurangkan $\frac{16}{5}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - \frac{16}{5}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{16}{5}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{16}{5}$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{10} {(2 + x^{2})}^{5} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$y = \frac{1}{10} (2^{5} + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 2^{4} x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 5 \cdot 16 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan $5$ dengan $16$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 2^{3} {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 10 \cdot 8 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.5

Kalikan $10$ dengan $8$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 {(x^{2})}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{2 \cdot 2} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 2^{2} {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 10 \cdot 4 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.8

Kalikan $10$ dengan $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 {(x^{2})}^{3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.9

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.9.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{2 \cdot 3} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.9.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 5 \cdot 2 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.10

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 {(x^{2})}^{4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.11

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.11.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{2 \cdot 4} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.11.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + {(x^{2})}^{5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.12

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.12.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{2 \cdot 5}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.2.12.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$y = \frac{1}{10} (32 + 80 x^{2} + 80 x^{4} + 40 x^{6} + 10 x^{8} + x^{10}) - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{1}{10} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$y = \frac{1}{2 (5)} \cdot 32 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $32$ .

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 16) + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{1}{5} \cdot 16 + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $16$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (80 x^{2}) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Faktorkan $10$ dari $80 x^{2}$ .

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{16}{5} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{2})) + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (80 x^{4}) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Faktorkan $10$ dari $80 x^{4}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + \frac{1}{10} (10 (8 x^{4})) + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (40 x^{6}) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.5

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.5.1

Faktorkan $10$ dari $40 x^{6}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + \frac{1}{10} (10 (4 x^{6})) + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.6

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.6.1

Faktorkan $10$ dari $10 x^{8}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 (x^{8})) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + \frac{1}{10} (10 x^{8}) + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{1}{10} x^{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.2.4.7

Gabungkan $\frac{1}{10}$ dan $x^{10}$ .

$y = \frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$

Langkah 5.3

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{16}{5} + 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} - \frac{16}{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{16 - 16}{5}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + \frac{0}{5}$

Langkah 5.3.3

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10} + 0$

Langkah 5.3.4

Tambahkan $8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$ dan $0$ .

$y = 8 x^{2} + 8 x^{4} + 4 x^{6} + x^{8} + \frac{x^{10}}{10}$