Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan $\frac{y}{1 + y^{2}}$ dan $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Langkah 1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Langkah 1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.3.2.5

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.2.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $\sin (0) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.3.1.1.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Langkah 4.3.1.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Langkah 4.3.1.1.4

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Langkah 4.3.1.2

Tambahkan $\frac{1}{2}$ dan $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $C$ dalam $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$