Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - 4 y + 2 x = 0$ , $y (1) = 10$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - 4 y = - 2 x$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{- 2 x}{x}$

Langkah 1.4.2

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = - 2$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{- 4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = - 2$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = - 2$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 4}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{4}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{4}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{4 y}{x}$ dengan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.2.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} \cdot - 2$

Langkah 3.3

Gabungkan $\frac{1}{x^{4}}$ dan $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{- 2}{x^{4}}$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = - \frac{2}{x^{4}}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = - \frac{2}{x^{4}}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int - \frac{2}{x^{4}} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = - \int \frac{2}{x^{4}} d x$

Langkah 7.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Langkah 7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Langkah 7.3.2

Pindahkan $x^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Langkah 7.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Langkah 7.3.3.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 \int x^{- 4} d x$

Langkah 7.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Langkah 7.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Gabungkan $x^{- 3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Langkah 7.5.1.2

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Langkah 7.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{x^{4}} y = - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Langkah 7.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = 2 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Langkah 7.5.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} y = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kurangkan $\frac{2}{3 x^{3}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} = C$

Langkah 8.1.2

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{4}} y - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $\frac{1}{x^{4}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} - \frac{2}{3 x^{3}} - C = 0$

Langkah 8.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $\frac{2}{3 x^{3}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{4}} - C = \frac{2}{3 x^{3}}$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $C$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y}{x^{4}} = \frac{2}{3 x^{3}} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(\frac{2}{3 x^{3}} + C) x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{2}{3 x^{3}} x^{4} + C x^{4}$

Langkah 8.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.2.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $3 x^{3}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} x^{4} + C x^{4}$

Langkah 8.4.2.1.2.2

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{4}$ .

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Langkah 8.4.2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{2}{x^{3} \cdot 3} (x^{3} x) + C x^{4}$

Langkah 8.4.2.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2}{3} x + C x^{4}$

Langkah 8.4.2.1.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + C x^{4}$

Langkah 8.4.2.1.4

Susun kembali $\frac{2 x}{3}$ dan $C x^{4}$ .

$y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $10$ untuk $y$ padda $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ .

$10 = C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3} = 10$

Langkah 10.2

Sederhanakan $C \cdot 1^{4} + \frac{2 \cdot 1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$C \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} = 10$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$C \cdot 1 + \frac{2}{3} = 10$

Langkah 10.2.2.2

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$C + \frac{2}{3} = 10$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kurangkan $\frac{2}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 10 - \frac{2}{3}$

Langkah 10.3.2

Untuk menuliskan $10$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$C = 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 10.3.3

Gabungkan $10$ dan $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 10.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{10 \cdot 3 - 2}{3}$

Langkah 10.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.5.1

Kalikan $10$ dengan $3$ .

$C = \frac{30 - 2}{3}$

Langkah 10.3.5.2

Kurangi $2$ dengan $30$ .

$C = \frac{28}{3}$

Langkah 11

Substitusikan $\frac{28}{3}$ untuk $C$ dalam $y = C x^{4} + \frac{2 x}{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $\frac{28}{3}$ untuk $C$ .

$y = \frac{28}{3} x^{4} + \frac{2 x}{3}$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{28}{3}$ dan $x^{4}$ .

$y = \frac{28 x^{4}}{3} + \frac{2 x}{3}$