Kalkulus Contoh

$4 x y d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $4 x y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 4 x y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $y$ dari $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 4.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.3.4.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) + 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) = C$

Langkah 5.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) + \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Langkah 5.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (| y | {(x^{2} + 1)}^{2}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {(x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ .

$| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Bagi setiap suku pada $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ dengan ${(x^{2} + 1)}^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Bagilah setiap suku di $| y | {(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C}$ dengan ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y | {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5.2.2.1.2

Bagilah $| y |$ dengan $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$