Kalkulus Contoh

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $\cos (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) y = 1$ dengan $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 1.3

Faktorkan $y$ dari $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 1.4

Susun kembali $y$ dan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$e^{\int \tan (x) d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sec (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{\cos (x)}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.5

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $\frac{1}{\cos (x)}$ dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 3.4.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

Langkah 3.4.3

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Langkah 3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pisahkan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.3

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.4

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.5

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.6

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.7

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.5.9

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ sebagai ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Langkah 3.8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Langkah 3.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = \sec^{2} (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = \sec^{2} (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int \sec^{2} (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\sec (x) y = \int \sec^{2} (x) d x$

Langkah 7

Karena turunan dari $\tan (x)$ adalah $\sec^{2} (x)$ , maka integral dari $\sec^{2} (x)$ adalah $\tan (x)$ .

$\sec (x) y = \tan (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\sec (x) y = \tan (x) + C$ dengan $\sec (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\sec (x) y = \tan (x) + C$ dengan $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\tan (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y = \frac{\tan (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.3.1.2

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y = \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.3.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis $\cos (x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.3.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.3.1.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \sin (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Langkah 8.3.1.6

Pisahkan pecahan.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Langkah 8.3.1.7

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Langkah 8.3.1.8

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Langkah 8.3.1.9

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$y = \sin (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Langkah 8.3.1.10

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$y = \sin (x) + C \cos (x)$