Kalkulus Contoh

$e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1) d x + 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)]$

Langkah 1.2

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ terhadap $y$ adalah $e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} \frac{d}{d y} [y^{3} + x y^{3} + 1]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} + x y^{3} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 1.5

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{3}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 1.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 1.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 \cdot x y^{2} + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 1.8

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2} + 0)$

Langkah 1.9

Tambahkan $3 y^{2} + 3 x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2} + 3 x y^{2})$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{x} (3 y^{2}) + e^{x} (3 x y^{2})$

Langkah 1.10.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + e^{x} (3 x y^{2})$

Langkah 1.10.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} (x e^{x} - 6)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x e^{x} - 6]$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x} - 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.5.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.5.3

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x} + 0)$

Langkah 2.5.4

Tambahkan $x e^{x} + e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x} + e^{x})$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (x e^{x}) + 3 y^{2} e^{x}$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 e^{x} y^{2} + 3 e^{x} y^{2} x = 3 e^{x} y^{2} x + 3 e^{x} y^{2}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 y^{2} (x e^{x} - 6) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = 3 y^{2} (x e^{x} - 6)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $3 (x e^{x} - 6)$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3 (x e^{x} - 6)$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) \int y^{2} d y$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $3 (x e^{x} - 6) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ sebagai $(3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Langkah 5.3.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3} + C$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) (\frac{1}{3} y^{3}) + C$

Langkah 5.3.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.2

Karena $\frac{y^{3}}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(3 x e^{x} - 18) \frac{y^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [3 x e^{x} - 18] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x e^{x} - 18$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.5

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.8

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.9

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x}) + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.10

Tambahkan $3 (x e^{x} + e^{x})$ dan $0$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 (x e^{x} + e^{x})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.11

Gabungkan $3$ dan $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.12

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{3}}{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.3.12.2

Bagilah $y^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} (x e^{x}) + y^{3} e^{x} + \frac{d g}{d x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$

Langkah 9.1.2

Sederhanakan $e^{x} (y^{3} + x y^{3} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x} \cdot 1$

Langkah 9.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$

Langkah 9.1.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} y^{3} + e^{x} (x y^{3}) + e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x e^{x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x}$

Langkah 9.1.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangkan $y^{3} x e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} e^{x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x}$

Langkah 9.1.3.2

Kurangkan $y^{3} e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$

Langkah 9.1.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $y^{3} e^{x} + x y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} x e^{x} - y^{3} e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x y^{3} e^{x}$ dan $- y^{3} x e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} y^{3} x + e^{x} - e^{x} y^{3} x - y^{3} e^{x}$

Langkah 9.1.3.3.2

Kurangi $e^{x} y^{3} x$ dengan $e^{x} y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + 0 + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Langkah 9.1.3.3.3

Tambahkan $y^{3} e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} e^{x} + e^{x} - y^{3} e^{x}$

Langkah 9.1.3.3.4

Kurangi $y^{3} e^{x}$ dengan $y^{3} e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Langkah 9.1.3.3.5

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Langkah 10

Temukan $e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Langkah 10.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12

Sederhanakan $f (x, y) = (3 x e^{x} - 18) \frac{1}{3} y^{3} + e^{x} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = (3 x e^{x} \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x e^{x}$ .

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = (3 (x e^{x}) \frac{1}{3} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = (x e^{x} - 18 (\frac{1}{3})) y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 18$ .

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 (- 6) \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = (x e^{x} + 3 \cdot - 6 \frac{1}{3}) y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = (x e^{x} - 6) y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.1.4

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$

Langkah 12.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = x e^{x} y^{3} - 6 y^{3} + e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y^{3} e^{x} - 6 y^{3} + e^{x} + C$