Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + x) (y + 1)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((x^{2} + x) (y + 1))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y + 1$ dari $(x^{2} + x) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x^{2} + x))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) (x^{2} + x))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y + 1} d y = (x^{2} + x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int x^{2} + x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y + 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{2} + x d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} + x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int x d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y + 1 |)} = e^{\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y + 1 |) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C} = | y + 1 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Langkah 3.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$| y + 1 | = e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 3.3.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C}$

Langkah 3.3.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C} - 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C}$ sebagai $e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}} e^{C} - 1$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}} - 1$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}} - 1$